球体表面积公式推导（2种方法） - 微积分应用

我们知道，球体表面积：

下面，我们用2种相对比较容易理解的方法来推导球体的表面积公式。

第1种方法：切片法+积分 推导球体表面积公式

1）将球心置于坐标系的原点O；

2）将球体无限切割成均匀薄片。

任取其中一张薄片分析

任意一张 厚度为dr的薄片

A，B分别为薄片的内侧点和外侧点

θ为A到圆心O的夹角

圆环内圆的半径：

圆环内圆的周长：

展开后的圆环近似为一个长方形，如图：

圆环展开后的图形，底为AB弧长，高为圆环内圆周长

球体表面面积S = 所有圆环面积之和

球体表面积=所有圆环面积之和

等价于以下积分形式：

延伸思考：

作球体切片积分时，设 圆环薄片圆心C到O的距离为r，薄片的厚度为dr，

注意用红色字体标注的部分，与已推导出来的积分式不一样

已推导出来的积分式

导致积分结果不一样，思考一下，为什么？

望感兴趣的朋友留言解答。

第2种方法：从球体体积公式推导球体表面积公式

将球体看作 由n个高度为dr的薄层构成

每剥开一层，球体的体积就减少dv，

对球体体积函数v(r)求导，可得到球体表面积关于半径的函数s(r)：